Teorema Pythagoras

A. Teorema Pythagoras

  Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”

     jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, a dan b adalah panjang sisi siku-siku. Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:

c2 = a2 + b2

Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:

a2 = c2 – b2

b2 = c2 – a2

Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.

Contoh :

Tentukan rumus pythagoras dan turunan dari segitiga yang memiliki panjang sisi miring a dan sisi siku-sikunya b dan c.

Rumus Pythagoras         : a2 = b2 + c2

Turunannya                   : b2 = a2 – c2

                                                             c2 = a2 – b2

B.       Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku

Contoh :

1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm.  Hitunglah panjang BC!

Jawab:

BC2 = AC2 + AB2

BC2 = 32 + 42

BC2 = 9 + 16

BC2 = 25

BC  = 5 cm

2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x.

AC2 = AB2 + BC2

202  = (4x)2 + (3x)2

400  = 16x2 + 9x2\

400  = 25x2

16    = x2

       = x

3. Sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari jarak semula.

jawab:

OU2 = OB2 + UB2

OU2 = 802 + 602

OU2 = 6.400 + 3.600

OU2 = 10.000

OU  = 100 km

C.      Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Triple Pythagoras

1. Kebalikan Dalil Pythagoras

Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka berlaku a2= b2 + c2.

Dalam    ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c adalah sisi sihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu:

Jika a2 = b2 + c2 maka     ABC siku-siku di A.

Jika b2 = a2 +c2 maka    ABC siku-siku di B.

Jika c2 = a2 + b2 maka    ABC siku-siku di C.

Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.

Jika a2 = b2 + c2 maka     ABC adalah segitiga siku-siku.

Jika a2 > b2 + c2 maka     ABC adalah segitiga tumpul.

Jika a2 < b2 + c2 maka     ABC adalah segitiga lancip.

Contoh :

Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi

1. 5 cm, 7 cm dan 8 cm.

Jawab: sisi terpanjang adalah 8 cm, maka a= 8 cm, b = 7cm dan c = 5 cm

a2 = 82 = 64

b2 + c2 = 72 + 52

b2 + c2 = 49 + 25

b2 + c2 = 74

karena a2 < b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga lanci

2. 8cm, 7cm dan 12 cm

Jawab: sisi terpanjang adalah 12 cm, maka a= 12 cm, b = 7cm dan c = 8 cm

a2 = 122 = 144

b2 + c2 = 72 + 82

b2 + c2 = 49 + 64

b2 + c2 = 113

karena a2 > b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul

2. Triple Pythagoras

Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”

Contoh :

3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 52 = 42 + 32

CONTOH SOAL :

1 . Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini: 

Tentukan panjang sisi miring segitiga!

2 . Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini: 

Tentukan panjang sisi alas segitiga!

3 . Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan sisi alas memiliki panjang 28 cm. 

Tentukan luas segitiga tersebut!

4 . Perhatikan gambar segitiga berikut! 

Tentukan panjang sisi AB! 

5 . Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini!

Jika panjang AC 12√3 cm dan sudut C sebesar 30°, tentukan panjang AB dan panjang BC!

JAWABAN :

1. Pembahasan

AB = 6 cm

BC = 8 cm

AC = ......

Mencari sisi miring sebuah segitiga dengan teorema pythagoras: 

2 . Pembahasan

PR = 26 cm

PQ = 10 cm

QR = ......

Menentukan salah satu sisi segitiga yang bukan sisi miring: 

3 . Pembahasan

Tentukan tinggi segitiga terlebih dahulu: 

Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi sehingga didapat hasil: 

4 . Pembahasan

Perbandingan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut 45° adalah sebagai berikut: 

Bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian didapat: 

Berikutnya akan dibahas soal-soal segitiga yang menggunakan perbandingan  dengan sudut-sudut 30o dan 60o

5 . Pembahasan

Tengok perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yang mengandung sudut 30° dan 60° kemudian kita buat perbandingan dengan segitiga ABC: 

Dari sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:

  

Share on Google Plus

About Unknown

This is a short description in the author block about the author. You edit it by entering text in the "Biographical Info" field in the user admin panel.